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逻辑悖论的研究
——对传统逻辑 " 不矛盾律 " 的再认识
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悖论问题是逻辑理论中一个极其重要的问题。从逻辑学的发展历史看，关于思维矛盾性相容或不相容的争论，至少已经存在了二千年以上。而在近百年来的新逻辑学（数理逻辑）中，由于集合论悖论的发现，这个问题已成为各学派争论的焦点之一。
所谓悖论，就是存在于逻辑思维中的结构性矛盾。悖论意味着对一个命题的肯定表述同时又是对它的否定表述。表示为公式即是： A →
� 瘙 綈 A ，而且
� 瘙 綈 A → A ；所以 A ←→
� 瘙 綈 A 。
这个问题的症结在于：自从亚里士多德提出思维与矛盾性不相容的观点以来，不矛盾律—— "A 不是非 A （
� 瘙 綈 A ） " ，早已成为一条普遍承认的思维公理，成为一切检验合理思维与逻辑悖谬的尺度。认为矛盾思维若不是根本不可能的，至少也是无效或无意义的，这早已成为一种根深蒂固的定见。但另一方面，逻辑学却不能不常常惊愕地面对存在于自然科学与人文科学中的这样一个事实——许多从逻辑形式看具有结构性矛盾的悖论命题，就其内容看，却陈述着某种为无矛盾命题所不能容纳的、深刻的真理。这里只举一个极明显的例子，马克思在《资本论》中提出： " 资本不能由流通中发生，又不能不由流通中发生。它必须在流通中同时又不在流通中发生， ( 《资本论》第一卷第 55 页，人民出版社 1963 年版。 )
从形式逻辑不矛盾律的观点看，这个命题无疑具有 A ←→
� 瘙 綈 A 的形式，是自相矛盾的悖论。但事实上却没有一个经济学家，因为马克思的这个命题具有悖论形式而能够断言它是错误的。
实际上，现代自然科学和人文科学许多领域的理论进展，愈来愈深刻地表现出逻辑悖论的发生具有某种必然性与不可避免性。科学史证明了伊·康德二百年前在其认识论批判中所曾提出的论点：在人类理性结构中先天地存在着导致逻辑悖论的必然性。他把这种必然悖论称作 " 理性的辩证幻想。 " 他指出： " 当理性一方面根据一个普遍承认的原理得出一个论断，另一方面又根据一个也是普遍承认的原理，以最准确的证明得出一个恰好相反的论断，在这样的情况下，理性迫使自己泄露了自己隐蔽的辩证法。 "" 这是人类理性的最奇特的现象，这种矛盾决不是用普通教条主义的办法所能解决的。 "( 康德著《任何一种能够作为科学出现的未来形而上学导论》，中译本第 123 页—— 124 页。卢卡西维茨著《亚里士多德的三段论》，中译本第 252 页。 )
20 世纪中叶，量子力学揭示了光量子具有 " 波粒二象性 " 这种二重的矛盾性质。推动了科学家们逻辑观点的变化。几位作为量子力学首创者的科学家（如玻恩、海森堡等人），都曾经提出应当建立一种新的 " 量子逻辑 " 。他们认为，在这种逻辑中，至少 " 排中律 " 是不适用的 (" 自从牛顿和惠更斯的时代起，光和物质的理论史一直表现为微粒解释和波动解释之间的不断斗争。到二十世纪初叶……物理学陷入了在两个矛盾概念面前左右为难的境地，而其中的每一个概念都是可以证明的。一种实验似乎需要波动的解释，另一种实验则要求微粒的解释，尽管这两种解释带着明显的矛盾，却不能使之排除。 " （ Hars Reicheebach ：《论量子力学的哲学基础》英文版第 22 页）
" 量子逻辑的修正，促使我们有必要修改宏观宇宙的逻辑结构。 " （同上第 169 页）
" 古典逻辑可能相当于量子逻辑的前身，就像古典物理学是量子论的前身一样。那么，古典逻辑就可能被包含于量子逻辑之中，作为它的一种极限情形，而后者将构成更普遍的逻辑形式。 " （ W ·海森堡：《物理学与哲学——现代科学中的革命》，科学出版社中译本第 120 页） ) 。 20 世纪 30 年代，首先倡议建立多值的 " 模态逻辑 " 的著名波兰逻辑学者卢卡西维茨也曾指出：亚里士多德 " 断定了逻辑的二值原则。按照这种原则，一切命题或是真的，或是假的。而模态逻辑却不可能是一个二值系统。 "( 亚里士多德：《形而上学》中译本第 63 页，第 216 页，第 63 页，第 65 、 78 页。 )
然而对这个问题应当有一个更加深刻的认识。因为无论量子逻辑还是模态逻辑，作为多值逻辑，都只是辩证逻辑的特例。而上述事例至少表明，在通常的形式逻辑教科书中，被尊崇为不可侵犯的所谓 " 思维三大规律 " ——同一律、排中律和不矛盾律，从现代科学的观点看，已经绝非那样神圣了。
本文试图从逻辑史、哲学史和科学史的几个侧面，对于逻辑悖论问题、思维的矛盾性及无矛盾律问题，作几点新的探索。
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传统逻辑 ( 本文所谓传统逻辑，是指：（ 1 ）古典逻辑（亚里士多德逻辑），（ 2 ）后古典逻辑（斯多葛逻辑及中世纪经院逻辑），（ 3 ）近代逻辑（培根、穆勒的归纳逻辑），（ 4 ）现代逻辑（数理逻辑）。总之，指一切非辩证的形式逻辑。 )
提出了关于思维的三个公理，它们是：同一律（ A ≡ A ），不矛盾律（
� 瘙 綈 （ A ∧
� 瘙 綈 A ）），排中律（ A ∨
� 瘙 綈 A ）。实际上，直观地看，不矛盾律其实即是以二次否定形式（两个否定构成一个肯定）所重言的同一律。即：
� 瘙 綈 （
� 瘙 綈 A ）→ A ≡ A → A 。而排中律则可用以下的代换证明亦等价于同一律。以元素 x 代入变元 A ，得：
A （ x ）
� 瘙 綈 A （ x ）≡
当且仅当 x 是 A 、 x → A ，
当且仅当 x 是
� 瘙 綈 A ， x →
� 瘙 綈 A 。 ( 由排中律这一展开式可以清楚地看出，这里存在一个元素 X ，它既可被设定为 A ， X 可被设定为
� 瘙 綈 A 。所以黑格尔在《逻辑学》中认为，排中律与不矛盾律的规定相矛盾。因为这个排除第三者的命题中包含一个 " 对于对立漠不相关的第三者，它既不是 +A ，也不是
� 瘙 綈 A ，同样也可以说是 +A ，又是
� 瘙 綈 A 。 " （《逻辑学》下册第 65 页） )
也可以这样理解，矛盾律和排中律是互相补充的，它们以同一律为共同基础，同时构成析取式（ A 与非 A ）的统一。这里的两个选言既不能并存（ A 不是非 A ），又不能同时排除（不是 A ，则必是非 A ）。由此可见，通常被并列为三个逻辑公理的这三个命题，其实是同一命题即同一律的不同表述形式。
哥德尔关于逻辑的不完全性定理指出，在一个自身协调的形式系统 A 中，必存在命题 a ，在形式系统 A 自身中不能被证明，同时其否定命题非 a 亦不能得证。应当指出的是，同一律这个通常在形式逻辑教科书中被列为思维第一公理的命题，正是一个不能被形式逻辑的形式系统自身所证明的命题。古典形式逻辑之父亚里士多德虽然在其著作中极其详细地讨论过关于思维与矛盾性不相容的问题，却并没有对思维同一性的问题——同一律进行论证。而亚氏论证不矛盾律的那种方式，恰恰是从现代逻辑观点看极不可取的方法——不是从形式逻辑本身的公理系统，而是从哲学本体论的观点，在涉及非形式化的思维内容的情况下，论证不矛盾律的。 ( 亚氏对于不矛盾律的讨论，集中在《形而上学》卷四，卷十一。 )
亚氏为什么这样做？这是因为他意识到，对于不矛盾律，从纯粹形式逻辑的立场来给予证明，实际上是极为困难的，正如欧几里德几何中对平行线 " 第五公理 " 的证明一样。他曾以极武断的口吻说： " 有些人甚至要求将这些原理（即不矛盾律——引者加）也加以证明，实在这是因为他们缺乏教育……一切事物悉加证明是不可能的。假如承认不必证明的原理应该是有的，那么人们当不能另举出别的原理比现在这一原理更是不证自明了。 "( 亚里士多德著《形而上学》，中译本第 63 页，第 216 页，第 63 页，第 65 、 78 页。 ) 但尽管如此，亚氏还是勉为其难的从本体论的观点，对形式逻辑的不矛盾律作了论证。他认为：（ a ） " 有一个原理我们不可为之掩饰，而且相反地，必须永久承认其为真实——这就是 ' 同一事物不能同一时既是而又不是，或容许其他类似的相反两端 ' 。 "" 有些人不但自己主张 ' 同一事物可以既是而又非是 ' ，还说这可以由世人公论，事物确乎如此。其他如自然科学的作家，也常用这样的话语。但我们现在认为任何事物不可能在同时既是而又非是，并且认为这原理能自明为一切原理中最无可争论的原理。 "( ②③④亚里士多德《形而上学》中译本第 63 页，第 216 页，第 63 页，第 65 、 78 页。 ) （ b ） " 在同一时间，在同一方面，同一事物不能既具有又不具有某属性。 "" 任何事物不可能同时既是又非是。 "" 同一事物不能同时既是又不是，或者，不能同时具有其他的两个相反的属性。 " ②
亚氏依据上述不矛盾律的本体论根据，在逻辑上进而认为：
（ a ） " 同一事物既是而又不是，除了同义异词而外，必不可能。 "" 这些当已足够说明一切信条中最无可争议的就是相反叙述不能同时两都真实。 " ③
（ b ） " 两个互相矛盾的命题（或判断）不能同时都是真的。 "
" 对于任何事物的肯定与否定，必有一个是真的。 "
" 在两个互相矛盾的谓项之间，没有第三者，我们必须或者肯定或者否定某个主项有某个谓项。 "
" 对于任何事物，我们必须或者肯定它，或者否定它。那么，肯定与否定就不可能都是假的。 " ④
这就是著名的不矛盾律，同时它又蕴涵了排中律。
根据亚里士多德对不矛盾律的论述，这个命题可以从本体论和逻辑定律两方面加以解释，即：
（ a ）没有一个个体既有性质 P ，同时又具有同 P 相矛盾的性质非 P ——这是对不矛盾律的本体论解释。
（ b ）如果一个陈述句把一个谓词 P 和一个同 P 相矛盾的谓词非 P ，加于同一主词，则这个陈述句是假语句——这是对于不矛盾律的逻辑解释。 ( 现代逻辑学者常批评亚氏逻辑中忽略了 " 关系逻辑 " 。在亚氏的不矛盾律中，他显然也未考虑过 "aRb ∧ aRb" 与 "aRa" 的形式差别。 )
可以清楚地看出，亚氏关于思维不矛盾性的逻辑公理，乃是以宇宙的存在本体无矛盾的假设为根据而作出的。这里就必然存在这样一个问题：如果亚氏认为 " 宇宙的存在本体自身无矛盾 " 这个假设乃是错误的，那么他据此而论证的逻辑不矛盾律是否还能成立呢？这一问题，是现代逻辑学所必须予以正视和回答的。
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悖论问题在现代数理逻辑中之所以重新受到重视，其直接起因是由于 19 世纪末至 20 世纪初年，人们发现在数理逻辑基础中存在着矛盾结构。
19 世纪后期，以康托尔、弗雷格为代表的一些数学家开始研究数学的逻辑基础问题，他们试图把数学体系从形式逻辑的公理中推演出来。后来，又经过罗素、怀特海、希尔伯特 [1] [2] [3] [4] 下一页
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